Do jedného reťazca načítaš obsah súboru na serveri. Do druhého reťazca načítaš obsah lokálneho súboru. Ak sa líšia, stiahneš oba súbory do nejakých dočasných súborov (napr. rovnako pomenovaných ale s príponou .part). Po dokončení sťahovania ich premenuješ tak, aby nahradili staršie súbory.

Nepíšeš, aký máš prístup na server (HTTP/FTP/SFTP/...), tak predpokladám HTTP. Ak je server správne nastavený, tak posiela v HTTP hlavičku E-Tag alebo Last-Modified, takže stráca zmysel mať ešte ďalší textový súbor. Pri tom textovom súbore ešte vyvstáva otázka, čo sa má stať, ak sa zmení len o jeden bajt (pri veľkosti uvedenej v kB zmenu nezaregistruješ). Tiež nezaregistruješ zmenu v prípade, že sa zmenil len obsah súboru, ale nie je jeho veľkosť.

Pre prečítanie reťazca môžeš použiť WebClient.DownloadString.
Pre stiahnutie súboru môžeš použiť WebClient.DownloadFile.
Pre premenovanie súboru použiješ File.Move. Predtým vymažeš pôvodný súbor pomocou File.Delete.