Děkuji za nejnázornější a hlavně osobní zkušeností podloženou odpověď.
Měl jsem jen trochu problém s nastavením přeposílání mailů z nově založeného účtu na ten starý.
(Př. Z nově založeného e-mailu "josef.novak(at)gmail.com" na původní "joker007(at)gmail.com"). Snažil jsem se na to jít přes:

"Zkontrolovat poštu z jiných účtů (pomocí protokolu POP3):" -> "Přidat vlastní účet POP3" -> A ZDE NASTAL PROBLÉM!!!
Nešlo zadat heslo, a na nově vytvořený e-mail (Př. "josef.novak(at)gmail.com") mi zhruba ve stejné době přišla zpráva, že se k mému mailu zkoušel připojit někdo z cizí IP adresy,... což mohlo a nemuselo souviset???...

Nastavení přeposílání mailů a ponechávání jejich kopie v "Doručené poště" se mi podařilo nastavit až přes nastavení v nově založeném mailu, touto cestou:
"Přeposílání a protokol POP/IMAP" -> "Přeposílání:" -> "Přidat adresu pro přeposílání"...
Nastavil jsem rovněž: "2. Jsou-li zprávy stahovány pomocí protokolu POP, chci: uchovat kopii v Doručené poště GMAIL"

Máte stejnou zkušenost s nastavováním, nebo jsem někde udělal chybu a mělo by jít přeposílání nastavit i přes první způsob (v nastavení dříve založeného e-mailu)? ("Zkontrolovat poštu z jiných účtů (pomocí protokolu POP3):" -> "Přidat vlastní účet POP3")