je možné, že by nějaký program mohl sledovat všechny aktivity, co se dějí na pc a někam tato data posílat?

Všechny asi ne, ale některé určitě ano

A dělá to třeba Windows nebo jiné běžné programy?

Záleží na verzi. Windows 10 toho v defaultním nastavení odesílá hodně.

Případně zabránil by tomu firewall?

Něčemu ano, něčemu ne. Musel bys toho "ladit" mnohem více, úspěch každopádně nezaručen

Ptám se proto, že mnoho programů chce povolení k odesílání různých (anonymních nebo neanonymních) dat.

Jo, to chce. Můžeš jim to zakázat.

A můžu si nějak sám zjistit co všechno putuje z/do mého počítače po síti?

Teoreticky ano, ale viz Jan Fiala.

----
Obecně:
- i Windowsy se dají umravnit, aby toho posílaly ven co nejméně
- nepoužívat programy pochybného původu (nechtěné odesílání dat může být vedlejší funkcí cracků)
- neinstalovat si do PC malware (projeď si PC nějakým antimalwarem, třeba MBAM, ideálně v nouzovém režimu)

PC nepřipojen k internetu bude každopádně v bezpečí vždy.