Pokiaľ mate dosť miesta na disku, je možné, že už je preplnený priečinok "Doručená pošta" kde je Thunderbirdom stanovený maximálny objem 4GB (rovnako ako aj pre každý samostatný priečinok). Kliknite na priečinok "Doručená pošta" pravým tlačidlom myši, vyberte "Vlastnosti" a preverte akú velkosť na disku zaberá.
Limit veľkosti zložky je detailnejšie vysvetlený tuna:
http://kb.mozillazine.org/Limits_%28Thunderbird%29 #Folders_and_messages.

Odporúčam staré správy z preplneného priečinka "Doručená pošta" odstrániť, alebo archivovať. Postup archivácie:
Označte všetku starú poštu v priečinku "Doručená pošta" (cca 1000 emailov) a zvolte a (stlačiť klávesu a), alebo ich po označení archivujte aj takto (druhá možnosť):
- Thunderbird - Správa - Archivovať
- uvoľnili ste si miesto v priečinku a všetka stará pošta je ARCHIVOVANÁ - nájdete ju v priečinku ARCHÍVY pod konkrétnym letopočtom. Poštu z roku 2015 archivuje do priečinka 2015. Poštu z roku 2016 archivuje do priečinka 2016.
https://support.mozilla.org/cs/kb/archivace-zprav

Potom je nutné ešte "Vykonať údržbu priečinkov"..
POSTUP:
- Thunderbird - Súbor - Vykonať údržbu priečinkov
http://imgbank.cz/images/2015/08/19/Thunderbird_ud rzba_priecinkov.jpg

Ďalšou možnosťou je, že ste narazili na limit veľkosti niektorého iného priečinka, kde je maximálny limit tak isto 4GB.
V tomto prípade pomôže to isté - uvolniť preplnený priečinok archiváciou, alebo odstránením starých správ, a následným spustením "Údržby priečinkov".