Vyřešeno. Chyběly mi tam "obalovací znaky", jako: `něco`, '".$něco."'.

Řešení:

$stmt = $conn->prepare("INSERT INTO `users` (`login`, `password`, `name`, `surname`, `email`, `activate`, `activate_code`, `rank`) VALUES ('".$login."', '".$password."', '".$name."', '".$surname."', '".$email."', '".$activate."', '".$activate_code."', '".$rank."')");
$stmt->execute();