Obsluha je pre každé tlačítko tá istá... pochopiteľne... netreba robiť pre každé tlačíttko zvlášť obsluhu, stačí jedna.
V obsluhe sa predá parameter Sender:TObject = to znamená, že vieš aké tlačítko bolo stlačené.
A keďže tam bude:

procedure TForm1.MyButtonClick(Sender: TObject);
var
  Button: TButton;
begin
  Button := Sender as TButton;                           <= práve toto je to stlačené tlačítko
  ShowMessage(Button.Caption + ' clicked');              <= zobrazí sa to čo nesie tlačítko ako titulok, vždy bude iný....
end;

No a keďže už vieš, čo presne je v titulku, môžeš s ním ďalej robiť...

čiže si môžeš uložiť titulok (caption) do premennej a túto premennú použiť ako parameter pre lHTTP.Get(tvoja_premenna);

nejak takto:

var
  Button: TButton;
  moja_premenna: String
begin
  Button := Sender as TButton;                          
  moja premenna:= Button.Caption;     

  ...
  try
    s:= lHTTP.Get(moja_premenna;
  ...
           
end;

Naozaj toto sú jednoduché veci, predávanie parametrov sú úplné základy...