Ve FF funguje obojí, ale okno pro schválení přidání do oblíbených se objeví DVAKRÁT.

Mne sa to tam zjavilo raz. Máš tu stránku niekde prístupnú, kde sa to zobrazuje dvakrát?

V IE přidání k oblíbeným funguje, nastavení jako homepage ne.

Vo funkcii pre nastavenie homepage, používaš v IE kľúčové slovo this, pod ktorým ale nie je odkaz, na ktorý používateľ klikol. Môžeš to prepísať napr. takto (netestované):

function SetAsHomepage(link) {
  if (document.all && !window.opera) {
    link.style.behavior='url(#default#homepage)';
    link.setHomePage(document.location.href);
  } else
    alert('Váš prohlížeč nepodporuje automatické nastavení této funkce.');

  return false;
}

A potom v HTML:

onclick='return SetAsHomepage(this);'

Spravil by som to ešte trochu inak (bez detekcie prehliadača, pridávalo by sa to tam iba ak má používateľ zapnutý JavaScript, ...), ale keď to stačí takto...