Hlavně musíš zjistit, co ti neprošlo. To zjistíš na úrovni Socket, pokud si napíšeš obsluhu události.
Začni tím, že pošleš mail bez přílohy a multipart - prostý text. Pokud ti to projde, budeš vědět, že komunikace je v pořádku a problém je ve skládání multipart mailu.

Vybral sis knihovnu bez komponent, kterou obsluhuješ sám pomocí kódu. Radil jsem ti použít InDy, ta bude pro tebe jako začátečníka jednodušší. Můžeš zkusit podobný příklad:
https://delphi.cz/post/Odesilani-mailu-pres-SMTP-Delphi-Indy.aspx
případně se podívat na příklady, které máš pro InDy na webu nebo nainstalované v příkladech s instalací Delphi.