co vsechno zaznamena klasicky phpbb forum?

Logicky vždy zaznamenává aktuální IP.

muze admin cist zprávy? Zaznamenává monitor apod. v defaultním nastavení phpbb forum?

Admin má přístup ke všemu.

Težko říct jestli zaznamenává monitor.

Monitor určitě ne, ale může zaznamenávat "tab" ve kterým máš právě forum otevřené dokud ho neopustíš.

To by ti podle mého názoru ale měl oznámit, jinak se domnívám že to je trestné.

Prostředky na to jsou.

Může zaznamenávat cokoliv, i starou IP - to dělaj tady na poradně a pak ti pod každý post z jiné IP píší že si měl starou IP - takových ** je tu plno, většinou jsou označení hvězdičkou.

nechápu, přihlásim se z nějakou ip, jsem přihlášený, pak ip změním, a budu klikat s tou jinou, - jakou to zaznamená...?

Není důvod, proč by to nemohlo zaznamenat obě.

Nejlíp uděláš, když si to phpBB fórum někam nainstaluješ (třeba na localhost) a podíváš se mu na střeva.

A podle toho pozná co používá druhá firma za pluginy a co má za rozšíření na webu?

V dotazu nic takového nestojí.
A nic mu nebrání si do toho phpBB nainstalovat cokoliv.
Na webu může být nasazený třeba Piwik a nepozná ze stránky nic.