Nezvladnu
Ono by to šlo vyřešít takto.

procedure TForm1.AdvStringGrid_popilekMouseDown(Sender: TObject;
  Button: TMouseButton; Shift: TShiftState; X, Y: Integer);
var
  Column: Longint;
  Row,Row1: Integer;
begin
  AdvStringGrid_popilek.MouseToCell(X, Y, Column, Row);
  if (Column = 0) and (Row = 1)  then
                                  begin
                                       if AdvStringGrid_popilek1.RowCount = 1 then
                                               begin
                                                  beep;
                                                  AdvStringGrid_popilek1.Cells[1,0]:= 'test';
                                                  AdvStringGrid_popilek1.RowCount := AdvStringGrid_popilek1.RowCount + 1; 
                                                  Label2.Caption :=  IntToStr(AdvStringGrid_popilek1.RowCount);
                                                end
                                                else
                                                begin
                                                    beep;
                                                    Row := AdvStringGrid_popilek1.RowCount;
                                                    AdvStringGrid_popilek1.Cells[1, Row -1]:='test';
                                                    AdvStringGrid_popilek1.RowCount := Row + 1;
                                                 end;
                                  end;

Toto však funguje tak, že to vpiše text do toho prvního řádku a přida další řadek.
Pak už vždý přida text a hned další řadek.
Ja bych se chtěl zbavit těch prazdných řadku.

První jen přidat ten text do toho prvního řádku.
A pak první přidat další a do něj vepsat text.

Ono při spuštění programu je Rowcount 1
Přidam text do prvního řádku a pokud nepřidam další řadek, je furt Rowcount 1, tedy else při dalšim kliku neproběhne.
To bych nesměl testovat Rowcount ale zda je text v bunkach.