Na UNO vse funguje a NANO to nejde ?
Mam v tom trochu zmatek. Odpoj uplne to UNO a zapoj jen to NANO a zkus to znova, jinak to zkus postupne jedno podruhém :
1) Snimani teplot
2) Zapojeni dipleje + zobrazeni informaci ze snimace ne nem.
3) Zobrazit je pres ESP8266
V pripade, ze to nejde na tom NANO, zkus zacit jen tim snimanim teploty a vlhkosti, budo vychazet z toho, ze pouzivas Arduino IDE.

#include "DHT.h"
DHT dht;
void setup()
{
 Serial.begin(9600);
 dht.setup(2); // data pin zvol dle pouzitého pin snimace na tom NANO
}
void loop()
{
 delay(2000); // minimalni vzorkova frekvence,  tu mas pro DH11 spravne
 Serial.print("Vlhkost: ");
 Serial.print(dht.getHumidity()); // Vypis hodnost vlhkosti 
 Serial.print(("Teplota: "));
 Serial.println(dht.getTemperature()); // Zobrazeni teplot
}

V IDE mas polozku "serial port" nebo pouzij CTRL+SHIFT+M, vidis spravne zobrazené informace jako na obrazku ?

Jestli uz to mas vyzkousene a vis ze to funguje, tak to preskoc, a podivej se jestli spravne komunikuje s tim modulem ESP8266 :
https://www.exploreembedded.com/wiki/Arduino_Support_for_ESP8266_with_simple_test_code
(mmodul ESP8266 nepouzivam, jestli ti jde jen o slepeni kodu s timto modulem, s tim ti nepomuzu, jen bych hadal)