yt-dlp funguje, právě vyzkoušeno a tím že je dost univerzální, tak jej vřele doporučuju do sw výbavy počítače

POZOR: odkaz je nutné dát do uvozovek, jinak to nefunguje

tj. yt-dlp "https://www.facebook.com/watch/live/?ref=watch_permalink&v=1125646821331988"

Program yt-dlp je nutné stáhnout asi z githubu, dát do vhodného adresáře, který buď musí být v cestě a nebo příkaz spouštět v něm (já třeba pro podobné programy mám složku c:\prg\složka_programu\ abych nezanášel programfiles, už Visty to dost neblaze nesly, pokud se zapisovalo do programfiles).