..ale nelze označit více složek najednou...je jich tam hodně...

Tak si všetky emaily a aj všetky zložky v pôvodnom účte zjednoťte pod jeden jediný priečinok s názvom napr: PRENOS a ten prekopirujte na ten druhý webhosting. Samozrejme Thunderbird musí mať IMAP prístup aspoň k tomu druhému (novému) webhostingu.