ping by měl být na ip routeru - o2 používal 10.0.0.138

můžeš mít na pc nastavený firewall (za routerem celkem zbytečná věc), ten může blokovat ping.

to hloupé chování ovladače síťovky možná souvisí s vadnou podporou usínacích režimů.
mohlo by to vyřešit statické nastavení ip adresy na pc:

ip z rozsahu routeru: 10.0.0.11
maska: 255.255.255.0
brána = ip routeru: 10.0.0.138
dns lze ip routeru, anebo nějaké public dns: 8.8.8.8 + 8.8.4.4 (lepší jsou dns s blokováním reklam, musíš vygooglit)