Takže, jak jsem tak nad tím přemýšlel, nenapadá mě nic jinýho, než blbě nakonfigurovaný router. Pokud vytáhneš kabel z routeru a strčíš ho napřímo do PC, tak to chodí, to je první fakt. Pokud se připojíš přes WiFi, tak to taky chodí, to je druhý fakt. DHCP evidentně funguje, to je třetí fakt. Ještě potřebuju jednu indicii a to výpis IPCONFIG, když to máš napojený napřímo bez routeru.

Odhaduju, že na výstupu stávajícího internetového připojení běží taky DHCP, podle toho, že máš LAN v PC nastaveno na získání adresy automaticky. Takže bych router nastavil asi takto:

WAN rozhraní: DHCP klient (tedy dostane adresu automaticky)
LAN rozhraní: IP-192.168.10.254 maska-255.255.255.0 brána-IP adresa internetového klienta (příkladně 10.10.10.254)
NAT zapnuto
DHCP server na LAN straně zapnut, rozsah 192.168.10.100-192.168.10.200

a musí to chodit