//Odkaz pro smazání novinky
<a href="?smaz=<? echo $zanam['id']; ?>">Smazat</a>

//Skript pro smazání

<?php
if(isset($_GET['smaz']))
{
$id = $_GET['smaz'];
(mysql_query('DELETE FROM `Novinky` WHERE `id` = '$id' LIMIT 1')) ? echo "OK" : echo "Error";
}
?>

Lze nahradit skript

(mysql_query('DELETE FROM `Novinky` WHERE `id` = '$id' LIMIT 1')) ? echo "OK" : echo "Error"; 

pouze tímto (nevypíše to ty hlášky OK a Error)

mysql_query('DELETE FROM `Novinky` WHERE `id` = '$id' LIMIT 1'); 

PS: <form action="zapis.php" name="post" method="post"> IMHO by bylo vhodnější nedávat tam to action="zapis.php" ale jen action="" nebo nic, protože když budeš svůj systém rozvíjet tak budeš třeba i měnit názvy souborů a hned ti to nepůjde

PS 2: Pokud bys nerozuměl tomuto řádku:

(mysql_query('DELETE FROM `Novinky` WHERE `id` = '$id' LIMIT 1')) ? echo "OK" : echo "Error";

tak je to to samé jako:

if(mysql_query('DELETE FROM `Novinky` WHERE `id` = '$id' LIMIT 1'))
{
echo "OK";
}
else
{
echo "Error";
}