Za prve citas offset 0 a to nie su sekundy ale status, vid datasheet PCF8583. Sekundy su offset 2.
Soft_I2C_Write(0); // Start from address 2

Za druhe ked sa cita z I2C tak pred tou adresou A1 musi byt I2C restart. Vid datasheet resp. I2C specifikaciu. Neviem jak vyzeraju tvoje I2C funkcie ale napr. by to mohlo vyzerat takto
Soft_I2C_Start(); // Issue repeated start signal
Soft_I2C_Write(0xA0); // Address PCF8583, see PCF8583 datasheet
Soft_I2C_Write(2); // Start from address 2
Soft_I2C_Start(); // Issue repeated start signal
Soft_I2C_Write(0xA1); // Address PCF8583 for reading R/W=1
...

ked tam neurobis I2C start, tak sa to 0xA1 bere ako data pre zapis, a nie ako I2C device adress. Pred kazdou device address musi byt na I2C urobena start condition. Vzdy.

P.S. za tretie ked nieco nefunguje tak vezmem pamatovy osciloskop a skontrolujem clock a data presne ze co tam posielam a jak presne...

P.S.2. a za stvrte neviem odkial beres to "Hodinový signál 1Hz generuje taktéž" (?) ten chip nema ziaden 1Hz hodinovy signal...

P.S.3. ked tam mas aj baterku tak ju odpoj, nech sa zresetuje control register, kedze si do neho doteraz zapisoval smeti (data 0xA1). Alebo zapis do control registra 0.