Ano, po propojení budeš mít normálně windows a budeš moci hrát hry.
Vlastně to bude stejné jako kdybys měl monitor (možná budeš muset přenastavit rozlišení ve windows).
-------------------------------
HDMI má v sobě i audio.
Zrovna tvoje grafika by to podporovat měla, viz oficiální specifikace:

Audio Input for HDMI: Internal