Neverím, že ti uloží správne údaje (teraz ti to ukladá hodnotu smerníka), pretože ti tam chýba znak ^ v riadku:

write(f,pom^);

Toto som napísal len na rýchlo. Takýmto spôsobom uložíš obsah celej premennej aj s odkazom na ďalší prvok, ktorý je v uloženom súbore zbytočný. Malo by to teda vyzerať takto:

write(f,pom^.meno);

No a k čítaniu: Keď máš ukladanie takéto (aj tu vidím chyby):

         rewrite(f); {opravil som reset na rewrite}
         pom:=zac;
         while pom<> nil do
          begin
           writeln(pom^.meno);
           write(f,pom^.meno); {opravil som to tak, ako som spomenul vyssie}
           pom:=pom^.dalsi;
          end;
         close(f);

Tak čítanie je presný opak:

         reset(f); {citame, takze reset}
         new(zac); 
         pom:=zac; 
         if not eof(f) then {ochrana proti prazdnemu suboru)
           repeat {cyklus s podmienkou na konci, while tu nie je vhodne}
             if pom <> zac then {ak nie sme na zaciatku, tak vytvorit nove pamatatove miesto}
               begin
                 new{pom^.dalsi);
                 pom:=pom^.dalsi;
               end;  
             read(f,pom^.meno); {nacitat}
             writeln(pom^.meno);
           until not eof(f); {toto opakukovat do konca suboru}
         close(f);