Spustit program minimalizovaně snad jde umístěním zástupce do složky Po spuštění. Když to chceš mít v trayi, tak možná tohle:
https://addons.mozilla.org/en-US/thunderbird/addon /minimizetotray-revived/
Nepoužívám, nezkoušel jsem. Jistě toho v doplňcích najdeš víc. Jsou i prográmky pro kontrolu pošty, nepotřebuješ spouštět klienta.