Neviem o žiadnom API, ale vždy to môžeš spraviť tak, že budeš odosielať HTTP požiadavky na server, kde sú tie údaje sprístupnené. Z odpovede si prečítaš požadované údaje. Môžeš to rozšíriť o kešovanie, aby si nerobil zbytočné požiadavky na ich server. Podľa prevádzkových podmienok by to nemal byť problém, ak neprekročíš 3000 požiadavok denne.
V tvojom prípade by teda malo stačiť prečítať odpoveď z nasledovnej adresy (nuly na konci nahraď hľadaným IČ):
http://www.justice.cz/xqw/xervlet/insl/index?sysinf.%40typ=or&sysinf.%40strana=searchResults&hledani.%40typ=subjekt&hledani.podminka.ico=00000000