To sa nedá čítať ... no k jadru otázky ..

Pokud se stane, že síť "vypadne" a já potřebuji zjistit, jestli je wan připojení do routeru funkční, musím ručně zapsat IP adresy s DNS do vlastností připojení k místní síti

Proste chceš sa prihlásiť na router ...

Co tvrdíš je blbost, ak routeru funguje, tak funguje aj DHCP ... není žádny dúvod neco zadavat ručne.
Ak je router funkčný ale DHCP server u neho nefunguje, tak router funkčný není. Reset do default, prípadne skúsit flashnuť firmware, ak to pretrváva ... zahodit kúpiť nový .

Ešte dodatok: k prihláseniu sa na router DNS není potrebné, jediné co je potrebné, je správna NETMASK, IP a samozrejme login a pass