Tlačidlo spravíš buď použitím klasického HTML formulára, alebo použiješ odkaz, alebo spravíš nejaké JavaScriptové tlačidlo.
Formulár je lepší, pretože ho bude používať menej botov ako odkaz a je dostupný pre všetky prehliadače. Aktuálnu stránku si pošleš buď v URL alebo ak použiješ formulár, tak môžeš aj v hidden poli. Pri JavaScripte môžeš použiť napr. JSON.
Namiesto aktuálnej URL adresy stránky (ktorú v PHP zistíš z $_SERVER['REQUEST_URI']) ti stačí poslať identifikátor hry. Ak by si si posielal URL adresu, tak ti tam môže trochu skúsenejší používateľ podvrhnúť ľubovoľný odkaz.
Odoslanie mailu budeš musieť riešiť na serveri, napr. pomocou funkcie mail.