Děkuji za odpověď. Ono ve skutečnosti ještě stahuji maily do smartphonu, ale nerad bych měnil komplet nastavení schránky když to takto až na tuto věc funguje. Vím, že Gmail IMAP obsahuje a popravdě ani nevím jaký to má význam.

P.S. Nyní koukám do nastavení emailu a mám tam následující:

POP3: Protokol POP je povolen pro všechnu poštu, která byla doručena od 21.07.09

IMAP: Aktivní

Dále tam mám: Označím-li zprávu v protokolu IMAP jako odstraněnou, potom: Automatické vyčištění zapnuto – ihned aktualizovat server (výchozí hodnota)
Automatické vyčištění vypnuto – aktualizaci serveru provede klient

Mohl by problém být právě tady?
Potom tedy bude třeba přenastavit klienty protože v jejich konfiguraci mám nastaven přístup přes POP3, je to tak?
Povede případné přenastavení tohoto k tomu, že maily se budou synchronizovat všechny do všech klientů?

Moc děkuji za každou radu.