stránka facebook.com (včetně přihlášení) je poskládaná z dalších komponent ze stránky fb.com, což není totéž. a není vyločeno že i z dalších webů - já tam účet nemám, nemůžu ověřit.
přihlášení je vždy přes protokol https, což může být další problém na straně klienta (u tebe).

podle výpisu ti selhává trasování od druhého routeru, prvním je jakýsi krám 192.168.100.1
v tak divném prostředí je spíš zázrak, když se ti někde povede přihlásit.
kontrola: funguje ti přihlášení na webmail? na nějaký eshop? paypal? prostě cokoliv trochu serióznějšího, co by mělo vyžadovat zabezpečené připojení přes https.

druhá kontrola: obsah hosts jsi kontroloval?

v hosts jsem nenašel nic zajímavýho, doplnky taky řekl bych OK

aha. a jak čtu v threadu: ty jsi ten čistič ... no tak přeinstaluj.
a zas si kup nějaký "čistící" program.

edit: dík za poslední reakci. takže chyba byla v https protokolu - při kontrole certifikátu se bere v úvahu i datum.