Problém ovšem je i tehdy, když router odpojím a kabel místo do routeru zapojím do počítače.

Takže router se dá téměř vyloučit - kontaktuj svého poskytovatele internetu, vypadá to, že problémy jsou u něj.
A taky se zeptám - proti jakému serveru jsi ten ping dělal? Jestli jsi zkoušel něco jako "ping www.seznam.cz", zkus "ping 8.8.8.8". Problém totiž může být v DNS serverech poskytovatele (pokud je máš nastavené). Pokud Ti "ping www.seznam.cz" nepůjde, ale "ping 8.8.8.8" projde, pak si změň nastavení DNS na Googlí DNS - tj. právě 8.8.8.8 a 8.8.4.4.