To nevím. Myslím že tady požaduješ příliš.
V "systémovějších" vývojových prostředích (wxWidgets atd...) to určitě jde.

Například pomocí Ajaxu lze na pozadí stránky bez problému zapisovat do databáze na serveru, který uživatel a kterou událost vyvolal.
(Tedy i kolikrát spustil funkci, která zobrazuje dialog pro tisknutí)
Jde totiž o to, že nad vyvolanou aplikací již nemá JS žádnou kontrolu. Nemůže tedy zjišťovat ani například
kolik kopií si uživatel nastavil a co v dialogu dělal a jak jej ukončil.

Takže myslím, že to nejde a už vůbec ne jednoduše či univerzálně pro známé řady prohlížečů...