ipadresu od routeru dostáváš, 10.0.0.4 je z rozsahu routeru 10.0.0.138 (default nastavení o2 a možná i tmobile)
celý výpis bys dostal:

ipconfig -all

..včetně dns serverů, ale dojme tomu, že to je dobře.
ty máš adsl od tmobile, na to pověšený router co byl možná od o2 (nevím, tmobil možná používá stejnou adresu brány u domácích routerů)
pak je možné, že je potíž s nějakým adsl nastavením, s tím by měl poradit operátor.

důvod nedomluvy extenderu a routeru nevidím. notebuk ti vypsal, že adresu dostáváš, i když jsi nedal celý výpis. (pokud se notebuk nepřipjuje rovnou na router místo na extender)

zkusil jsem příkazy podle jejich pdf, ping na žádný tmobilí dns mi nefunguje:
https://www.t-mobile.cz/dcpublic/Kontrola-nastaven i-DNS-v-pocitaci-Windows-7.pdf

ping 93.153.117.1
ping 62.141.0.2

můžeš si ještě ručně nastavit normální dns 8.8.8.8 a 8.8.4.4 - nejdřív vyzkoušej, jestli máš na ně ping.