Takže asi po týdnu je to konečně v pořádku. Zkusil jsem vypojit všechno, co vedlo od zdroje do základní desky a zdroj nenaběhl, ale stačilo připojit napájení základní desky a PC se po zapnutí prodlužky opět samo rozběhlo. Až úplně nakonec mě napadlo vypojit USB 2.0 PCI kartu a PC už nenabíhá. Takže považuji problém za vyřešený.

P.S. Ve druhém počítači jde ta karta bez toho, aby ho zapínala po zapojení do elektriky, takže stejně nevím, v čem byl problém.