Chyba je v nepochopení principů objektového programování. Nejrychlejší i když ne moc pěkné řešení je označit ten connectionstring jako public static.
Mnohem hezčí by bylo odebrat práci s databází z Formů (tam totiž nemají co dělat) a dát ji do samostatné třídy (tříd) a ty si pak pomocí IoC do těch formů předávat.