V původním telefonu je normálně viditelná a použitelná.

potom z mobilu nevyberať...

... jestli některý z Android souborových manažérů umí okopírovat všechna data a zachovat přitom časové razítko.

či dokáže zachovať časové razítko - to netuším, predpokladám, že pri kopírovaní zrejme nie.
Ja kopírujem data z/do telefonu cez ftp (súčasť súborového manažeru Androidu-telefonu). Na mobile spustím ftp server, na pc ako klient sa k nemu pripojím a kopírujem čo chcem z/do telefonu (interná, externá pamäť, sd karta...).
Funguje - odskúšané takmer denne...