... on normálně odesílá cookies, což mi moc anonymní nepřijde vrámci anonymity vůči serveru.

Musíš si ujasnit, vůči čemu se jedná o anonymní režim - není to o anonymitě vůči serverům (potažmo ISP, ...), ale o anonymitě v rámci PC - na tom PC po Tobě nezůstanou žádné stopy, co jsi navštívil za servery. Hodí se to např. tehdy, když se chceš na cizím PC (třeba seš u někoho na návštěvě) někam přihlásit - třeba ke své poštovní schránce, nějakému profilu na webu, apod.
Pokud chceš být anonymní vůči serveru, musíš použít VPN, Tor, nebo něco podobnýho.