Spojení více mysql databází dohromady

Bez problémov.

Ale jak to udělat?

Dvojmo, bude link1 a link2.. napr http://php.net/manual/en/function.mysqli-connect.php

Teda v prípade, že ich máš dostupné pod jedným účtom, tak potom úplne jednoducho: https://stackoverflow.com/questions/674115/select-columns-across-different-databases?utm_medium=organic&utm_source=google_rich_qa&utm_campaign=google_rich_qa

Tomu nerozumím. Jak by ale potom PHPBB fórum poznalo do které databáze zapisovat když bude napojené třeba na tři?

A to je iba tvoj výmysel? Alebo aký zmysel má spájanie viacerých databáz? PhpBB zrejme nepoužíva viac ako jednu db.
Ja som ti ukázal možnosti ako pristupovať k viacerým db. Ale netuším čo chceš ty dosiahnuť, zlúčenie viacerých fór takto asi nefunguje.

Mám webhosting maximální velikost databáze 300mb. Proto jich chci udělat víc po 300 mb.

V tomto prípade by sa ti mohla hodiť tá prvá možnosť. Ale aj to je otázne. V každom prípade, toto je nad tvoje sily. Jednoduchšie bude pohľadať iný hosting, alebo si zaplatiť väčší.

To si budeš muset to PHPBB upravit a v každé té db ukládat něco jinýho.
Nebo použít jiný webhosting.
Nebo použít jinou db, například pokud máš dostatečný prostor na webhostingu pro soubory, pokud je možnost ukládat dostatečně velké soubory na webhostingu a pokud webhosting podporuje sqlite, tak použij sqlite, PHPBB jej podporuje (nejsi pak omezena limetem 300 MB pro mysql).