furt píšeš obecně, nehledíš si adres cos tam vybudoval.
za prvním routerem asus je nějaká lan (192.168.0.x). stejná má být i za druhým routerem, pokud je správně nastaven (bridge nebo jen switch)
dhcp server těch pc je lan adresa asusu.

PC z prvního routeru vidí podsíť Belkin.

už to zní divně, když vidíš jakousi podsíť místo všech pc.
jaké ip mají ty pc připojené do 2.routeru belkin? a proč nejsou z rozsahu asus? v jakém "router" režimu je ten belkin? má kabel ve wan? kabel mezi asusem a belkinem je zapojený jak přesně?
pc připojený drátem do belkinu vypisuje jakou adresu dhcp? je dhcp na lan belkinu zakázaná? jaká je lan ip belkinu?
doufám že belkin si nehraje na nějaký repeater a není k asusu připojený přes wifi.

osobně: na názvy sítí jsem si nikdy nehrál. ikonu "okolní počítače" nebo "celá síť" rozkliknu omylem 3x za 10 let. stejně tak nesnáším home verze windows a jejich domácí sítě. jediná normální síť je pracovní.

Může vycházet z toho, že výchozí brána je 192.168.0.1, tak má rozsah 192.168.0.1 - 254

ano, při obvyklé masce 255.255.255.0 je to tak.
do toho vstupují ip adresy, které nejčastěji přiděluje dhcp v routeru: je lépe to omezit třeba na rozsah 192.168.0.100-.199
protože když se člověk rozhodne zapojit nějaké zařízení, které by mělo mít pevnou adresu (tiskárna, ap/2.router kvůli správě, naska), klasicky mu bouchne 192.168.0.2 apod a u neomezeného rozsahu dhcp je kolize hned.