Problém není se samotným ajaxem, ale nastavením textu v něm. Jde o to, že ajaxComplete se nezavolá pouze jednou. console.log to vícekrát vypíše, ovšem změna textu to zacyklí.
V debug mode to jde vidět, že se p ustavičně mění. V OOP by změna, na stejnou hodnotu, neměla na ven efekt, ale tady to očividně funguje jinak.
Proto upravím kód do této podoby

$(".wordpress-form").ajaxComplete(function() {
    $(".wpforms-confirmation-container-full p:contains('Děkujeme')").text("Thanks for contacting us! We will be in touch with you shortly.");
});

Podruhé to pochopitelně neprojde, nezacyklí se to a výsledek je správný.

Tím jsem pouze vyřešil vzniklý problém, ale neodstranil jeho příčinu.
Jenže, to pravděpodobně souvisí s kódem pluginu a ten měnit nebudu.

Díky