"Mám nějaký soubor.html, ten spustím a pomocí JS (který je uvnitř toho souboru index.html) třeba přidávám další položky <li> do <ul>, měním obsah v <input> atd.
Kam se tyto změny ukládají?"

Zmeny nikde, avšak pri prvom načítaní HTML sa vygeneruje DOM (Dokument Objekt Model) s ktorým da pak manipuluje a ten mění svůj stav... teda si vždy uchováva len aktuálny stav.

V Chrome Devtools i vo Firefox Devtool je ten aktuální stav možné vidět.