Ano, to funguje.
Teď to tedy mám celý takto
<html>
<head>
</head>
<body>
<a href="#">Download HTML</a>
<script>
var anchor = document.querySelector('a');
anchor.setAttribute('download', 'index.html');
anchor.setAttribute('href', 'data:text/html;charset=UTF-8',"<html>" + document.documentElement + "</html>");
</script>
</body>
</html>
A pokud kliknu na odkaz Download, tak ve správci stahování (Chrome) mi to u toho "staženého" (žádný soubor se nestáhne) souboru píše Chyba - Chyba sítě Jinak to nepíše nikde žádnou chybu.
PS: zkouším to tedy jen přimo ve Windows 10, nemám to na serveru.