Mě to ale jaksi nejde udělat tak, aby pak pořád něco nestahoval online, když ten site již na disku mám, nebo to nezobrazilo správně graficky.

V tom WHTT Website Copier jde nastavit, do jaké "hloubky" se má web stahovat (Limitní hodnoty).
Zkoušel jsi to nastavit třeba na třetí úroveň? Pak by to nemělo následně tahat věci z netu (pokud tam nejsou absolutní adresy).

Nebo zkusit jiný program: 7 Ways to Download Complete Websites For Offline Access
Nebo: How to Download an Entire Website for Offline Viewing