Pluginy pro webové prohlížeče nedělám, s tím neporadím.
Jestli chceš autoit skript (zkompilovat se dá do exe), ve kterém po spuštění vložíš do oknýnka url té stránky rozhlasu a po potvrzení se stáhne ten stream, tak ten je tento:

$url = InputBox("rozhlas", "URL", "", "", 800, 126)
If @error Then Exit
$iData = BinaryToString(InetRead($url, 1))
$mp3 = StringRegExp($iData, '(?i)https:\\/\\/croaod.cz\\/download\\/(.*?).mp3', 1)
If @error Then Exit
InetGet ("https://croaod.cz/download/" & $mp3[0] & ".mp3" , $mp3[0] & ".mp3", 1)
MsgBox(0,"","Hotovo") 

Toto funguje na tu tvou webovou stránku v prvním příspěvku, jestli jsou jiné různé, tak to fungovat nebude, jestli tvořené jak ta, tak bude.
Klidně se tam může přidat spuštění v nějakém přehravači.