Já se do toho taky připletu, hoši.
Nechápu, co tím "starý provider" a "nový provider" tázající míní?
E-maily má přece vedeny ve svém e-mailu, který je (např.) abc@seznam.cz, takže je to vedeno na webu seznam.cz = přihlašuje se na tento web, pokud má svůj e-mail (např.) defghijk@gmail.com, tak je to vedeno na webu gmail.com = přihlašuje se na tento web.
Že v jakém SW si e-maily obhospodařuje, to je jiná věc (jestli je to SW který se jmenuje Outlook, nebo Thunderbird, atd. atd. ... ) Tyto obslužné SW umožňují to, že když někdo má 2 či více e-mailů, může s nimi pracovat bez toho, aniž by se musel překlikávat mezi oknama těch různých webů (např. seznam.cz, gmail.com, atd.), takže je má pěkně pohromadě.