firefox jednak zůstává chvíli v paměti i po uzavření - cca 20s.
taky je možné že za divné chování může nějaký úchylný doplněk - i podle toho že jiným uživatelům to nedělá.

buď zkopíruj si na ploše druhého zástupce firefoxu, nech zobrazit jeho vlastnosti a do cíle mu přidej parametr: ...\firefox.exe -safe-mode
nebo spusť normálního správce souborů, vlez si do adresáře s firefoxem (třeba C:\Program Files\Mozilla Firefox), z příkazového řádku tam spusť:

firefox -safe-mode

běží ff? a teď mu v nastavení - možnosti - rozžířené - aktualizace - vypni upozorňování na updaty všeho.
zároveň si projdi bystrým okem ve správci doplňků, co tam je za rozšíření + zásuvné moduly: jestli to jsou věci které potřebuješ a důvěřuješ jim.

A dneska mi najednou nešel spustit internet

nemá firefox v nastavení připojení vyplněnou nesmyslnou proxy?
můžeš ověřit i vytvořením nového profilu: firefox.exe -p