Tedy takto:

Sub filtr_vstup()
'
' kopie_vybranych_radku
'

'
    ActiveSheet.Unprotect
    Range("A4:A5001,E4:M5001,R4:U5001,W4:Z5001").Select
    Selection.SpecialCells(xlCellTypeVisible).Select
    Selection.Copy
    Sheets("filtr-vstup").Select
    Range("A14").Select
    Selection.PasteSpecial Paste:=xlPasteValuesAndNumberFormats, Operation:= _
        xlNone, SkipBlanks:=False, Transpose:=False
    Range("A2").Select
    Sheets("vstup").Select
    ActiveSheet.Protect DrawingObjects:=True, Contents:=True, Scenarios:=True _
        , AllowFiltering:=True
    Range("A2").Select
End Sub

Funguje to.
Pak ale nechápu to omezení, na zdrojovém listu nedochází k žádným změnám. Notabene, když ruční kopírování funguje…