Takže jestli jsem to dobře pochopil, tak úkolem je zjistit, do jaké výšky je třeba nalít vodu do skleničky tvaru rotačního kužele, aby to odpovídalo objemu 1/6 litru. Je víc cest k řešení, jedna z nich vede přes goniometrické fce (ale jde to i přes podobnost trojúhelníků, je jedno, která cesta se zvolí).

1) otočíme si kužel "na vrchol", poté výška celé sklenice h=15cm, poloměr podstavy r=3,5cm. Představme si boční průmět kužele. Poté úhel mezi osou kužele a libovolnou přímkou na plášti (procházející vrcholem) bude:

tg alfa = r/h => alfa = arctg(r/h)

Možno číselně dopočítat nebo spíše pracovat v tomto tvaru


2) Představme si uvnitř tohoto kužele menší kužel, který těsně přiléhá na stěny většího kužele - to je voda ve sklenici. Výšku označme x, poloměr podstavy y. Je jasné, že:

tg alfa = y/x => r/h = y/x (mimochodem lze odvodit z podobnosti trojúhelníků)
y = xr/h

2) objem kužele tvořeného vodou je tedy V = 1/3 * pi * y^2 * x. Pokud dosadíme y=xr/h, vyjde nám V = (pi*x^3*r^2)/(3*h^2)

3) Číšník má nalít do každé sklenice 1/6 litru, takže 1000/6 mililitru (cm^3). Tuhle konverzi provádím z toho důvodu, abych vyšly rovnou centimetry. Potom úpravou získáme, že :

x^3 = (3*h^2*V_1skl)/(pi*r^2)
x = třetí odmocnina z (3*h^2*V_1skl)/(pi*r^2) = přibližně 14,3 cm

zběžná kontrola, jestli je to odvozený dobře - kontrola jednotek:
[m] = třetí odmocnina z ([m^2]*[m^3]/[m^2]) = [m] - takže je to asi dobře.

Takže vyšlo to správně.