příklad matematika - výpočet kužele

Takže jestli jsem to dobře pochopil, tak úkolem je zjistit, do jaké výšky je třeba nalít vodu do skleničky tvaru rotačního kužele, aby to odpovídalo objemu 1/6 litru. Je víc cest k řešení, jedna z nich vede přes goniometrické fce (ale jde to i přes podobnost trojúhelníků, je jedno, která cesta se zvolí).

1) otočíme si kužel "na vrchol", poté výška celé sklenice h=15cm, poloměr podstavy r=3,5cm. Představme si boční průmět kužele. Poté úhel mezi osou kužele a libovolnou přímkou na plášti (procházející vrcholem) bude:

tg alfa = r/h => alfa = arctg(r/h)

Možno číselně dopočítat nebo spíše pracovat v tomto tvaru

2) Představme si uvnitř tohoto kužele menší kužel, který těsně přiléhá na stěny většího kužele - to je voda ve sklenici. Výšku označme x, poloměr podstavy y. Je jasné, že:

tg alfa = y/x => r/h = y/x (mimochodem lze odvodit z podobnosti trojúhelníků)
y = xr/h

2) objem kužele tvořeného vodou je tedy V = 1/3 * pi * y^2 * x. Pokud dosadíme y=xr/h, vyjde nám V = (pi*x^3*r^2)/(3*h^2)

3) Číšník má nalít do každé sklenice 1/6 litru, takže 1000/6 mililitru (cm^3). Tuhle konverzi provádím z toho důvodu, abych vyšly rovnou centimetry. Potom úpravou získáme, že :

x^3 = (3*h^2*V_1skl)/(pi*r^2)
x = třetí odmocnina z (3*h^2*V_1skl)/(pi*r^2) = přibližně 14,3 cm

zběžná kontrola, jestli je to odvozený dobře - kontrola jednotek:
[m] = třetí odmocnina z ([m^2]*[m^3]/[m^2]) = [m] - takže je to asi dobře.

Takže vyšlo to správně.

v knize je příklad označen černým čtverečkem, to mi dcera vysvětlila že to znamená "Příklad pro chytré hlavičky"
ale mě to spíš připadá jako příklad pro jaderné fyziky

výsledek tam je, takže velice děkuji

Když tam je ten vzorec pro obecné řešení, tak to vypadá dost hrozivě , stačí průběžně dosazovat a hned to vypadá jednoduše. Já mám radši obecná řešení, naposledy se mi průběžné zaokrouhlování vymstilo u polynomické regrese asi 21. řádu, tam u koeficientu u x^20 (a aproximovaná fce měla Df od nuly do 9 tisíc, tak si zkuste spočítat 9000^20 ) nestačilo ani 30 desetinných míst, spíš těch 50 až 80 . Docela jsem se divil, když mi místo očekávaného výsledku v intervalu +-500 vyšlo asi deset milionů (koeficienty spočítaný programem jsem si nechal zaokrouhlit asi na 30 desetinných míst) a chvilku mi trvalo, než jsem si uvědomil, že ta mrcha je hodně numericky nestabilní.