příklad matematika - výpočet kužele

Neviem ako si postupoval, ale riesenie je asi taketo.

Objem ja V = 1/3 .Sp.v = 1/3 .pi.rr.v, cize si musim vyjadrit vysku a to je v=V/(1/3prr), kedze V by malo byt 1/2 litra vydelime to 3, cim dostaneme, ze kazdy host 0.166 litra. Vyska mi z toho vysla 12.94 cm.

Inak 14.3 nie je hodne, kedze cely jeden pohat ma objem 0.19 litra a ked si zoberies, ze tam mas naliat 0.1666 tak to bude skoro cele plne.

Máš tam chybku. Pokud pohár nenaplníš až po okraj, tak se ti vlastně zmenšuje průměr podstavy. Nemůžeš tak použít přímou úměru.
Co jsem tak rychle zkusil, tak mi to opravdu vyšlo cca 14,3 cm.

Chybu tam nemam, proste som pocital s tym, ze pohar sa smerom k vrchu zuzuje, cize s klasickym kuzelom, oni ho obratili, takze v tom pripade by som zadanie upresnil ako ma byt kuzel obrateny (logickejsie je sice vrcholom dole, ale kedysi sa robili aj opacne pohare).

Ani tak nemůžeš použít přímou úměru.

Mas pravdu musel by som pouzit vzorec na zrezany kuzel a tam sa trigoniometrii tak, ci tak nevyhnem.

Ne nezbytně. Já na to šel tak, že jsem si uvědomil, že změnou výšky se stejným poměrem mění i poloměr podstavy.
Původní objem:

V0 = 1/3*pi*r^2*v

Nový objem:

V1 = 1/3*pi*(r*q)^2*(v*q) = 1/3*pi*r^2*v*q^3

Tedy:

V1/V0 = q^3

V0 = 192,4 (dosazení do vzorce)
V1 = 166,7 (požadováno)
q = třetí odmocnina z (166,7/192,4) = 0,953

15 * 0,953 = 14,3

To som si uvedomil aj ja, len som v rychlosti nevedel najst tu umeru medzi 100% a 0.166 litrami, kedze tam bolo to na druhu nemohla to byt priama umera a dalej som to uz neskumal, zacala ma boliet hlava;o).

Takže jestli jsem to dobře pochopil, tak úkolem je zjistit, do jaké výšky je třeba nalít vodu do skleničky tvaru rotačního kužele, aby to odpovídalo objemu 1/6 litru. Je víc cest k řešení, jedna z nich vede přes goniometrické fce (ale jde to i přes podobnost trojúhelníků, je jedno, která cesta se zvolí).

1) otočíme si kužel "na vrchol", poté výška celé sklenice h=15cm, poloměr podstavy r=3,5cm. Představme si boční průmět kužele. Poté úhel mezi osou kužele a libovolnou přímkou na plášti (procházející vrcholem) bude:

tg alfa = r/h => alfa = arctg(r/h)

Možno číselně dopočítat nebo spíše pracovat v tomto tvaru

2) Představme si uvnitř tohoto kužele menší kužel, který těsně přiléhá na stěny většího kužele - to je voda ve sklenici. Výšku označme x, poloměr podstavy y. Je jasné, že:

tg alfa = y/x => r/h = y/x (mimochodem lze odvodit z podobnosti trojúhelníků)
y = xr/h

2) objem kužele tvořeného vodou je tedy V = 1/3 * pi * y^2 * x. Pokud dosadíme y=xr/h, vyjde nám V = (pi*x^3*r^2)/(3*h^2)

3) Číšník má nalít do každé sklenice 1/6 litru, takže 1000/6 mililitru (cm^3). Tuhle konverzi provádím z toho důvodu, abych vyšly rovnou centimetry. Potom úpravou získáme, že :

x^3 = (3*h^2*V_1skl)/(pi*r^2)
x = třetí odmocnina z (3*h^2*V_1skl)/(pi*r^2) = přibližně 14,3 cm

zběžná kontrola, jestli je to odvozený dobře - kontrola jednotek:
[m] = třetí odmocnina z ([m^2]*[m^3]/[m^2]) = [m] - takže je to asi dobře.

Takže vyšlo to správně.

v knize je příklad označen černým čtverečkem, to mi dcera vysvětlila že to znamená "Příklad pro chytré hlavičky"
ale mě to spíš připadá jako příklad pro jaderné fyziky

výsledek tam je, takže velice děkuji

Vypadá to složitě, ale ve skutečnosti není těžký. Jen je potřeba trochu víc zapojit představivost.

Když tam je ten vzorec pro obecné řešení, tak to vypadá dost hrozivě , stačí průběžně dosazovat a hned to vypadá jednoduše. Já mám radši obecná řešení, naposledy se mi průběžné zaokrouhlování vymstilo u polynomické regrese asi 21. řádu, tam u koeficientu u x^20 (a aproximovaná fce měla Df od nuly do 9 tisíc, tak si zkuste spočítat 9000^20 ) nestačilo ani 30 desetinných míst, spíš těch 50 až 80 . Docela jsem se divil, když mi místo očekávaného výsledku v intervalu +-500 vyšlo asi deset milionů (koeficienty spočítaný programem jsem si nechal zaokrouhlit asi na 30 desetinných míst) a chvilku mi trvalo, než jsem si uvědomil, že ta mrcha je hodně numericky nestabilní.