Pokusím se odpovědět ...

1) Ovladače běžného HW jsou součástí jádra a to je stejné pro live i instalovaný linux (pro tutéž distribuci ovšem). Extra ovladače jsou třeba pro podporu náročnějších režimů grafické karty, podpora skenerů, někdy tiskáren ap. Čili pro vážnější práci.
Nainstalovaný linux je rychlejší než live: většinou to tak je. Je to asi jako když na Windows srovnáš portable verzi programu s nainstalovanou. Live Linux má typicky aplikace zkomprimované a teprve po spuštění se rozbalí - většinou do paměti (ramdisku). To nějakou dobu trvá a taky to zabere víc systémové paměti než nainstalovaná verze.

2)
Který disk je který - já to poznám použitím příkazu fdisk -l. To vypíše všechny disky které jsou v systému, rozlišit se dají většinou podle velikosti, pokud si nejsem jistá, disk namontuju a kouknu se na něj. Fdisk je součástí snad každé instalačky a dá se spustit ještě před začátkem instalace. Taky se používá pro rozdělení disku, určení typu partition ap. Víc najdeš v dokumentaci. Chce si to aspoň něco o linuxu a správě disků přečíst.

3)
Instalátor UMÍ automaticky rozdělit a naformátovat disk, pokud je to jediný disk v systému a pokud je disk celý vyhrazený pro Linux. Pokud je disků víc nebo pokud máš na disku ještě Windows a chceš je zachovat, musíš to instalátoru říct - to žádná automatika nezvládne.

4)
Slax bohužel žádný udržovaný repozitář programů nemá. Je to škoda, taky jsou ho moc ráda používala, ale to distro je bohužel už pár let neudržované a prakticky mrtvé. Nějaký repozitář má Porteus, je přístupný z live verze, ale sama s ním zkušenosti nemám.